Плач математика

Музикант прокидається від жахливого сну. Уві сні він бачив, що музична освіта стала обов'язковою. “Ми допомагаємо учням вступити в цей заповнений звуками світ”, — викладачі, шкільна система і держава взялися за цей життєво важливий проект. Проводяться дослідження, утворюються комісії, приймаються рішення... І все це без жодної поради музиканта чи композитора!

Музиканти, як відомо, записують свої ідеї нотами; виходить, ці чорні кружечки і палички і є “мовою музики”. Важливо, щоб учні вільно говорили цією мовою, якщо вони збираються вивчитися музиці; звісно, абсурдно очікувати від дитини, що вона зможе заспівати пісеньку чи зіграти мелодію на якомусь інструменті, якщо вона не вивчила музичної нотації і теорії. А грати і слухати музику, не кажучи вже про написання власної п'єси, вчать у виші і в аспірантурі.

А мета занять у молодших і середніх класах — навчити школярів мові музики: треба ж завчити всі правила поводження з цими символами! “На уроці музики ми беремо нотний папір, вчителька пише на дошці ноти, а ми переписуємо їх або транспонуємо в іншу тональність. Нам треба навчитися малювати скрипковий і басовий ключі, і не плутатися з тональностями. Наша вчителька дуже сувора. Вона завжди вважає, щоб четвертні ноти були повністю зафарбовані. Одного разу я розв'язувала хроматичну шкалу, і все зробила правильно, але мені поставили двійку, бо я намалювала штилі не в той бік”.

Навіть найменші можуть цьому навчитися! Третьокласнику соромно не знати квінтового кола. “Мені довелося наймати синові репетитора. Він просто не може робити домашню роботу з музики. Канючить, що йому нудно. Дивиться у вікно, щось насвистує і наспівує дурні пісеньки”.

У старших класах програма напружена: учні готуються до ЄДІ і вступних іспитів. Вони вивчають гами і лади, різні розміри, вчать гармонію і контрапункт. “Їм треба багато чому навчитися, але на молодших курсах, коли вони почують все це, вони зрозуміють, як важливо було пройти шкільну програму”. Звичайно, не всі студенти збираються спеціалізуватися на музиці, тому небагато з них взагалі коли-небудь почує звуки, які позначають чорні кружечки нот. Тим не менш, надзвичайно важливо, щоб кожен член суспільства міг розпізнати модуляцію чи фугу, навіть ті, хто ніколи їх не чув. “Правду кажучи, більшість учнів встигають з музики посередньо. Вони тільки й чекають дзвінка з уроку, нічого не вміють, домашнє завдання пишуть, як курка лапою. Вони не думають про те, наскільки важлива музика в сучасному світі, вони хочуть тільки закінчити школу, пройти мінімум і отримати оцінку в атестат. Напевно, є просто здібні й нездібні до музики. У мене була одна чудова учениця. Її нотні листи були бездоганні — кожна нотка на своєму місці, каліграфічний почерк, і дієзи, і бемолі красиво написані. Колись вона стане великим композитором!”

Наш музикант прокидається в липкому холодному поті і розуміє, що це був, на щастя, просто сон. “Звичайно ж! — говорить він уголос сам собі, щоб заспокоїтися, — Жодне суспільство не дійде до такого, щоб звести прекрасне і осмислене мистецтво музики до такої бездумної і тривіальної формальності; жодна культура не може бути настільки жорстока до дітей, щоб позбавити їх природного і приємного способу самовираження. Яка нісенітниця мені сниться!”

Тим часом, на іншому кінці міста від схожого кошмару прокидається художник...

Я опинився в звичайному класі — ніяких мольбертів, ніяких фарб. “Ми не беремо в руки фарб до десятого класу, — сказали мені учні, — У сьомому класі ми вчимо тільки теорію фарб і пензлів”. Мені показали зошит з малювання: у ньому були зафарбовані квадрати різних кольорів з порожніми місцями поряд з ними. Завдання вимагало вписати назви кольорів поруч з квадратами. “Мені подобається малювання! — Сказав хтось із них, — Мені кажуть, що робити, і я так і роблю. Це просто!”

Після занять я розмовляв з учителем. “Виходить, учні нічого не малюють?” — Запитав я. “У старших класах вони будуть розфарбовувати книжки-розмальовки, і на наступний рік ми будемо готувати їх до цього. Там вони будуть застосовувати знання для життєвих малювальних ситуацій — знаєте, занурювати пензлі, витирати їх, і таке інше. Звісно, ми намагаємося встежити за кожним, за його здібностями. Найкращі художники, ті, хто знає пензлі і фарби, як свої п'ять пальців, далі йдуть у класи з поглибленим вивченням малювання. Але в основному ми намагаємося тільки дати учням базові знання про малювання, щоб вони могли пофарбувати кухню, не перетворивши її в жахіття”.

— А ці... е-е-е... старші класи...

— Ох, із поглибленим вивченням? Останнім часом все більше дітей намагаються до них потрапити. Я думаю, це батьки їх підштовхують, адже запис в атестаті про цей клас дає переваги при вступі до вишу.

— Переваги? А навіщо вишу, щоб студенти вміли зафарбовувати книжки-розмальовки вказаним кольором?

— А як же! Цим вони демонструють ясність логічного мислення! І, зрозуміло, якщо школяр планує вступати на який-небудь дизайнерський факультет, найкраще отримати ці знання ще в школі.

— Зрозуміло... А коли учні починають малювати... ну, так, на чистому полотні?

— Ви так говорите, наче ви один із цих старих професорів! Вони весь час торочать про самовираз у мистецтві, про почуття і інші абстрактні дурниці. Я сама, між іншим, закінчила художній факультет, але мені жодного разу не доводилося малювати цілу картину на чистому полотні. А в класі ми використовуємо комплекти розмальовок, що закуповує школа.

***

На жаль, наша система викладання шкільної математики — саме такий жах. Насправді, якби мені веліли придумати систему для знищення вродженої дитячої цікавості, прагнення до пошуку системи, я б не зміг зробити цю роботу краще, ніж вона вже робиться: у мене просто не вистачило б уяви дійти до цих безглуздих і бездушних методик сучасної шкільної математичної освіти.

При цьому багато хто розуміє, що щось не в порядку. Політики говорять: “Нам потрібні вищі стандарти”. Школи кажуть: “Нам потрібно більше грошей і устаткування”. Кожен говорить своє, але всі вони неправі. Але тих єдиних, хто розуміє, що відбувається, не тільки не слухають, але і частіше за інших звинувачують в усьому, що відбувається. Я говорю про дітей. Вони кажуть: “Уроки математики нудні і дурні”. І вони мають рацію.

Математика і культура

Перше, що нам слід зрозуміти — те, що математика є мистецтвом. Різниця між математикою та іншими мистецтвами, такими, як музика чи малювання, полягає в тому, що наша культура не визнає її мистецтвом. Всі розуміють, що поети і музиканти створюють твори мистецтва, виявляючи себе в слові, картині і звуці. Наше суспільство, можна сказати, щедре на визнання мистецтвом області творчості: архітекторів, шеф-кухарів і навіть телеведучих визнають за людей мистецтва. То чому ж не математиків?

Частина проблеми в тому, що ні в кого в суспільстві немає навіть приблизного поняття про те, що ж роблять математики. Загальне розуміння, схоже, таке, наче математика якось пов'язана з природничими науками: математики допомагають вченим своїми формулами або обчислюють величезні числа на комп'ютерах для тієї чи іншої наукової задачі. Без сумніву, якби треба було поділити світ на “поетичних мрійників” і “раціональних мислителів”, більшість людей приписало би математиків до останньої категорії.

Тим не менше, немає нічого на світі настільки ж мрійливого і поетичного, настільки ж радикального, вибухового і психоделічного, як математика. Вона так само перехоплює подих, як фізика чи космологія (зрештою, математики уявляли чорні діри задовго до того, як астрономи відкрили їх), і значно вільніша у засобах вираження, ніж поезія, живопис чи музика (бо вони залежні від властивостей матеріального Всесвіту). Математика — найчистіше з мистецтв, і найменш зрозуміле з них.

Дозвольте ж мені пояснити, що таке математика і чим займаються математики. Я не знайду кращого опису, ніж те, що дає Г. Г. Харді:

Математик, як і художник, і поет, створює візерунки. І якщо його візерунки довговічніші, то це тому, що вони зіткані з ідей.

Значить, математики сидять і тчуть візерунки з ідей. Які візерунки? З яких ідей? Ідеї про носорогів? Ні, залишмо їх біологам. Ідеї про культуру і мову? Зазвичай ні. Ці речі занадто складні на смак математика. Якщо ми повинні знайти об'єднувальний естетичний принцип математики, то він буде такий: просте — прекрасне. Математикам подобається думати про прості речі, і найпростіші речі — уявні.

Наприклад, коли я маю настрій подумати про геометричні форми — а я часто опиняюся в такому настрої — я можу уявити собі трикутник, вписаний в прямокутник:

Цікаво, яку частину прямокутника займає трикутник? Приблизно дві третини? Тут важливо розуміти, що я думаю не про малюнок трикутника в прямокутнику. І я не говорю про трикутник — частини ферми моста. У цьому немає прихованої практичної мети. Я просто граюсь. Це і є математика: інтерес, гра, розвага з власною уявою. З одного боку, питання про те, яку частину прямокутника займає трикутник, просто не має сенсу для реальних об'єктів. Навіть найретельніше виготовлений трикутник є лише безнадійно складною спорудою із тремтливих атомів, і його розмір змінюється щосекунди — якщо ми не говоримо про деякі наближені виміри. Це не просто, і, отже, це некрасиве питання, що залежить від безлічі деталей реального світу. У цьому виявляється естетика математики. Залишмо це питання вченим. Математичне питання задається про уявний трикутник, вписаний в уявний прямокутник. Його сторони досконалі, бо я так хочу — або тому що мені подобається думати про такі об'єкти. Це лейтмотив математики: її об'єкти такі, якими ви їх уявите. Ваш вибір безмежний; реальність не стає перешкодою на вашому шляху.

З іншого боку, як тільки ви зробили вибір (наприклад, я можу зробити мій трикутник симетричним чи ні), ваші витвори поводяться певним чином, хочете ви того чи ні. Найдивовижніша властивість уявних візерунків: вони вам відповідають! Трикутник займає певну частину прямокутника, і не в моїх силах змінити цю частину. Це число, можливо, дорівнює двом третім, або й ні, але головне, що я не можу просто так вирішити, яким воно буде. Я повинен його знайти.

Так, ми починаємо грати, і будуємо уявні візерунки, і задаємо питання про ці візерунки. Але як ми знаходимо відповіді на ці питання? Зовсім не так, як у природничих науках. Немає такого експерименту в лабораторії з пробірками чи на який-небудь спеціальній техніці, щоб дослідити мою вигадку. Єдиний спосіб дізнатися правду про уявні об'єкти — це напружити уяву, і це непроста робота.

У випадку з нашим трикутником у прямокутнику, я бачу дещо просте і красиве:

Якщо я розріжу прямокутник на дві частини по пунктирній лінії, відразу видно, що сторони трикутника розсікають кожну з частин рівно надвоє. Значить, поза трикутником така ж частина прямокутника, як і всередині, і, отже, площа трикутника в точності дорівнює половині площі прямокутника!

Ось так виглядає і відчувається математика. Цей маленький опис — приклад мистецтва математика: він задає прості та елегантні питання про уявні об'єкти, а потім придумує правильні і красиві пояснення. Нічого подібного до цього царства чистої ідеї немає; це чарівно, цікаво і безкоштовно!

Зрозуміло, але звідки взялася моя ідея? Як я здогадався провести лінію? Як живописець знає, де прикласти пензля? Натхнення, досвід, проби і помилки, і щастя. У цьому і полягає мистецтво — створювати ці прекрасні поеми думки, ці сонети чистого розуму. У цьому виді мистецтва є щось, що дивним чином перетворює нас. Відносини між трикутником і прямокутником були загадкою, і одна маленька лінія зробила розгадку очевидною. Я не міг її побачити, і раптом несподівано побачив. Якимось чином я створив глибоку і просту красу з нічого, і змінив цим себе — хіба не це ми називаємо мистецтвом?

Ось чому мені так гірко бачити, у що перетворюють математику в школі. Чарівна, плідна гра уяви вихолощується до стерильного набору зазубрених фактів і способів розв'язання. Замість простого і природного питання про геометричні форми і творчого й корисного процесу винаходу і відкриття учням дають ось це:

“Площа трикутника дорівнює половині добутку його основи на висоту”. Від учнів потрібно запам'ятати формулу і “застосовувати” її раз за разом у “вправах”. Зникає й радість, і трепет, і праця, і навіть гіркота творчого акту. Адже це вже більше не завдання. Питання було поставлене разом з відповіддю, і учневі нічого не залишилося робити.

Мені слід тут чітко пояснити, проти чого я заперечую. Я не проти ні формул, ані запам'ятовування цікавих фактів. Це чудово в контексті, і, як і заучування слів при вивченні мови, дозволить вам створювати глибші твори, сповнені тонких нюансів. Але сам по собі факт, що трикутник займає половину описаного прямокутника, не важливий! Важлива ідея розсікти його прямою лінією, і те, як вона надихає на пошук інших прекрасних ідей і веде до творчих проривів при розв'язанні інших задач — те, чого не дає вам просте твердження факту.

Знищивши творчий процес і залишивши лише результат цього процесу, ви майже напевно гарантуєте, що ніхто не буде насправді займатися предметом. Це все одно, що сказати, що Мікеланджело створив чудові скульптури, при цьому жодного разу не показав їх. Чи можна надихнутися цим? (Насправді, все набагато гірше — принаймні, в останньому випадку я б знав, що ці твори мистецтва існують, але мені їх просто не показують.)

Коли концентруються на “що”, але ігнорують “чому”, від математики залишається лише порожня оболонка, видимість. Мистецтво — не в істині, а в поясненні, аргументації. Пояснення дає істині контекст, визначає, про що насправді йдеться і що мається на увазі. Математика — це мистецтво пояснення. Якщо ви не дасте учням можливості зайнятися поясненням — формулювати свої власні завдання, пропонувати свої гіпотези, робити свої відкриття, помилятися, терпіти творчі невдачі, надихатися і складати свої власні, нехай і незграбні, пояснення і доведення, — ви позбавите їх самої математики. Я не заперечую проти формул і фактів. Я скаржуся на відсутність математики на наших уроках математики.

Якщо вчитель малювання скаже вам, що живопис — це зафарбовування пронумерованих областей на шаблоні, ви відразу відчуєте обман. Сама культура скаже вам про це — адже існують музеї і картинні галереї, і ви бачите предмети мистецтва навіть удома. Живопис добре розуміється суспільством як засіб людського самовиразу. Так само, коли вчитель астрономії скаже, що астрономія займається прогнозом долі за датою народження, ви відразу зрозумієте, що він збожеволів, адже наука так сильно проникла в культуру, що майже кожен знає про атоми і галактики, і закони природи. Але якщо вчитель математики дасть вам зрозуміти, що математика займається формулами, визначеннями і способами обчислення, які треба запам'ятати, то хто чи що скаже вам правду?

Ця культурна проблема — чудовисько, яке розгодовує саме себе: учні дізнаються про математику від вчителів, а вчителі — від своїх вчителів, і нерозуміння і неприйняття математики нашою культурою підтримується нескінченно. Ба більше, нескінченна підтримка цієї псевдоматематики з натиском на точну, але неосмислену маніпуляцію з символами, створює свою культуру зі своїми цінностями. Її адепти отримують величезну самооцінку від своїх успіхів. Найменше вони хочуть чути про те, що математика в першу чергу — чиста творчість і естетика. Багато випускників університетів, яким десяток років говорили, що у них талант до математики, з жахом усвідомлюють, що до справжньої математики у них немає ніякого таланту, і що насправді їхній талант слідувати вказівкам, і все. А математика — це не слідування вказівникам, це розставляння вказівників.

І це я ще не згадував відсутності математичної критики в школі. Школярі так і не дізнаються ні про те, що математика, як і будь-яка література, створюється людьми для забави, гри розуму, ні про те, що математичні праці необхідно критикувати, ні того, що людина повинна виробити математичний смак. Математичний дискурс подібний на поему, і нам слід запитувати, чи задовольняє він наші естетичні критерії: чи тверда його аргументація? чи є в ньому сенс? чи простий він і елегантний? чи дозволяє він дістатися до суті справи? Звичайно ж, у школі ви не знайдете такого критицизму.

Чому ми не хочемо, щоб наші діти навчилися математики? Можливо, ми не довіряємо їм, або думаємо, що це занадто складно? Наче ми відчуваємо, що вони можуть мати власну думку про Наполеона, але не про трикутники. Я думаю, причина в тому, що ми, як культура, не знаємо, що таке математика. Враження, яке ми отримуємо — ніби це щось таке холодне і суто технічне, чого, напевно, ніхто толком і не розуміє: і виходить пророцтво, яке виконує саме себе, якщо таке взагалі можливо.

Це ще півбіди, якби наша культура була просто математично неосвіченою, а біда наша в тому, що люди думають, наче вони знають, що таке математика, і мають геть хибне враження, ніби математика чимось практично корисна суспільству! У цьому вже видно величезну різницю між сприйняттям математики та інших мистецтв: математика розглядається суспільством як якийсь інструмент вирішення природничо-наукових і технічних завдань. Кожен знає, що музика і поезія потрібні для насолоди душі та піднесення духу (тому вони ледь присутні в шкільній програмі), але математика — о ні! — математика важлива.

СІМПЛІЦІЙ. Ти стверджуєш, що математика не має практичного застосування в суспільстві?

САЛЬВІАТІ. Звичайно ж ні! Просто звертаю увагу, що з того, що певний предмет має практичні наслідки, не виходить, що він призначений для цього. Музика веде армії в бій, але люди складають симфонії не для того. Мікеланджело розписував стелю, але в думках у нього було дещо вище.

СІМПЛІЦІЙ. Але ж потрібно вчити людей цим практичним результатам. Хіба не потрібні нам рахівники, теслі і так далі?

САЛЬВІАТІ. Чи багато людей користуються цією “практичною” математикою, яку вони вивчили в школі? Гадаєш, теслям потрібна тригонометрія? Чи багато ти знаєш дорослих, що вміють ділити дроби чи розв'язувати квадратні рівняння? Очевидно, що нинішнє практичне навчання не працює, і зрозуміло чому: воно нестерпно нудне, і нікому не потрібне на практиці. То чому ж люди думають, що воно важливе? Я не бачу користі в тому, що громадяни носять в головах тьмяні спогади про алгебраїчні формули і геометричні креслення, і чіткі спогади про те, як це все огидно! З іншого боку, було б значно корисніше показати їм щось прекрасне, дати їм можливість стати творчими, гнучкими розумом мислителями без забобонів, — такими, якими би їх зробила справжня математична освіта.

СІМПЛІЦІЙ. Але ж люди ж повинні вміти гроші рахувати!

САЛЬВІАТІ. Для цього калькулятори є. Чому б ними не користуватися? Значно легше і правильніше. Мій аргумент не тільки в тому, що сьогоднішня система настільки жахлива, але і в тому, що вона упускає щось воістину чудесне! Математику слід викладати як мистецтво в ім'я мистецтва, а “приземлені” корисні аспекти тривіально з'являться самі. Бетховен без проблем написав би пісеньку для рекламного ролика, але ж музиці він навчався, щоб створювати прекрасні твори!

СІМПЛІЦІЙ. Не кожен народився художником. Як тоді бути з дітьми, які просто “не математики”? Як вони укладаються в твою схему?

САЛЬВІАТІ. Якби кожному подавали математику в її природній формі, з усіма її трудними радощами і подивом пізнання її наслідків, думаю, ми були би свідками драматичної зміни ставлення дітей до математики, а дорослих — до того, що означає бути “сильним з математики”. Ми втрачаємо стільки нездійснених обдарованих математиків — творців, розумників, які абсолютно справедливо відкидають те, що здається їм безглуздим і вихолощеним предметом. Вони просто занадто розумні, щоб витрачати час на такі нісенітниці!Сімпліцій. А тобі не здається, що якби уроки математики були влаштовані, як уроки малювання, то багато дітей взагалі нічого не навчилися б?

СІМПЛІЦІЙ. А тобі не здається, що якби уроки математики були побудовані, як уроки малювання, то багато дітей взагалі б нічому не навчились?

САЛЬВІАТІ. Та ж вони нічому і не вчаться! Краще б уже ніяких уроків математики не було, ніж такі! Нехай хоч хто-небудь тоді зміг би відкрити її красу для себе сам.

СІМПЛІЦІЙ. То ти хочеш прибрати математику зі шкільної програми?

САЛЬВІАТІ. Її давно прибрали! Питання вже стоїть про те, що робити з порожньою засохлою шкіркою, що залишилася від неї. Зрозуміло, я б хотів замінити її наповненим радості діяльним знайомством з математичними ідеями.

СІМПЛІЦІЙ. Та чи багато вчителів знають свій предмет настільки, щоб так його викладати?

САЛЬВІАТІ. Мало, дуже мало. І це лише верхівка айсберга...

Математика в школі

Нема кращого способу вбити ентузіазм дітей та їх інтерес до предмету, аніж включити його в обов'язкову частину шкільної програми. Введіть його в ЗНО, і ви точно побачите, як освітня бюрократія висмокче всі його життєві соки. У відділах освіти не розуміють, що таке математика — як не розуміють цього ні директори шкіл, ні автори підручників, ні їхні видавці, ні — найсумніше — вчителі. Проблема настільки велика, що я ледь розумію, з якого кінця почати її викладати.

Почнімо з поразки безлічі реформ математичної освіти. Вже довгі роки все більше уваги приділяється розладу в системі математичної освіти. Оплачуються дослідження, збираються конференції, формуються численні комітети вчителів, авторів і видавців підручників, щоб “виправити ситуацію”. Не загубивши ні краплі власної видавничої вигоди (на будь-які флуктуації політики навчання вони відповідають пропозицією нових редакцій своїх нечитабельних монстрів), всі ці реформатори впустили головне: математичну програму треба не виправляти — її слід викинути геть.

Вся ця балаканина і показуха про те, які “пункти програми” і в якому порядку слід вчити, використовувати цю нотацію замість тієї нотації, якої моделі калькулятор, Господи прости, потрібен школяреві, — все це нагадує перестановку стільців на палубі напівзатопленого “Титаніка”. Математика — це музика розуму. Займатися математикою — значить здійснювати відкриття і будувати припущення; жити натхненням і інтуїцією; значить опинятися в розпачі — не тому, що предмет не має сенсу, а тому, що ви надали йому сенс і все ще не розумієте, як веде себе ваше створіння; значить випробувати і прорив фонтану ідей, і поразку художника; і з жахом німіти від майже фізично нестерпного почуття прекрасного, що переповнює вас; та означає бути живим, чорт забирай! Приберіть це з математики, і можете збирати скільки завгодно розумних конференцій, і це нічого не змінить. Оперуйте, скільки хочете, дорогі лікарі: пацієнт уже мертвий.

Найсумніша частина цих “реформ” — спроби “зробити математику цікавою” і “важливою у житті дітей”. Вам не треба робити математику цікавою — вона вже цікавіша, ніж ви зможете витримати! І торжество її в неважливості для життя — ось чому вона така цікава.

Спроби зобразити математику корисною і потрібною для щоденних справ завжди натужні та убогі: “Бачите, діти, як просто, коли знаєш алгебру, вирахувати, скільки Марії років, якщо їй на два роки більше, ніж двічі її вік сім років тому!” (Наче в житті хтось отримає цю божевільну інформацію замість справжнього віку.) Алгебра — не інструмент для життя, це мистецтво симетрії і чисел, і тому гідний осягнення сам по собі.

Дана сума і різниця двох чисел. Які це числа?

Ось просте, елегантне питання, і не треба рватися зі шкури, щоб зробити його привабливим. Стародавні вавилоняни любили розв'язувати такі задачі, і наші учні їх теж люблять. (Та й вам, сподіваюся, сподобається!) Нам не треба завертатися в потрійні вузли, щоб надати математиці важливість у щоденних справах. Її важливість, як і важливість мистецтва взагалі — в осмисленні людського досвіду.

Або, можливо, ви думаєте, що діти хочуть чогось, що має стосунок до їхніх щоденних справ? Можливо, їх захоплює щось практичне, наприклад, складний відсоток кредиту? Людей захоплює фантазія, і це саме те, що математика може дати — притулок від щоденного, чарівний бальзам від практичних турбот.

Інша проблема — коли автори підручників починають “сюсюкати”, щоб зробити математику “дружньою” і перемогти “страх перед математикою” (одна з безлічі хвороб, що насправді школа спричиняє). Щоб учні могли запам'ятати формули, ви можете придумати цілу історію про те, як Іван Дем'янович їде на машині навколо Єлизавети Макарівни і каже їй, як гарні були її два пироги (L = 2πR), або що її пироги квадратні (S = πR²), або ще якусь дурницю. А як же справжня розповідь про проблему вимірювання кривих, про Евдокса і Архімеда і методу неподільних, про трансцендентність числа π? Що цікавіше — вимірювати приблизний розмір круга по клітинках, а потім обчислювати довжину кола за формулою, яку вам дали без пояснення, чи почути розповідь про одне з найпрекрасніших, найбільш захопливих завдань, і найяскравіші, найсильніші ідеї за всю історію людства? Ми вбиваємо в дітях інтерес до кіл, врешті-решт!

Чому ми не даємо учням почути про це, не кажучи вже про можливість самим позайматися математикою, прийти до власних ідей і думок? Який ще предмет вивчають, навіть не згадуючи його історії, філософії, засад, естетичних критеріїв і поточного стану речей? Який ще предмет відкидає першоджерела — чудесні твори мистецтва, виконані найбільш творчими умами історії — на користь убогих третьосортних підручників?

Головна проблема шкільної математики в тому, що в ній немає задач. Так, я знаю, що видається за задачу на уроках: ці позбавлені смаку, нудні “вправи”. “Ось задача. Ось як її розв'язати. Так, такі бувають на іспиті. Додому задачі 1-15 ”. Що за нудний спосіб вивчати математику: стати муштрованим шимпанзе.

Але задача — справжня, чесна до самої суті природне людське запитання — це щось інше. Яка довжина діагоналі куба? Чи закінчаться прості числа? Нескінченність — число чи ні? Скількома способами можна симетрично покрити поверхню плитками? Історія математики — це історія вирішення цих питань, а не безглуздого пережовування формул та алгоритмів, разом зі штучними вправами для їх застосування.

Хороша задача — це коли ви не знаєте, як її вирішити. Ось де загадка, ось що дає справжні можливості! Хороша задача не стоїть окремо, а служить стартовим майданчиком для інших цікавих завдань. Трикутник займає половину описаного прямокутника. А як щодо піраміди в кубі? Чи можна цю задачу вирішити тим же способом?

Я приймаю ідею навчання школярів техніці вирішення, і я сам це роблю. Але це не мета. Техніка в математиці, як і в будь-якому мистецтві, повинна вивчатися в контексті. Великі завдання, їх історія, творчий процес — ось цей контекст. Дайте учням хорошу задачу, нехай вони поламають голови, нехай у них не вийде її вирішити. Подивіться, що у них вийде. Дочекайтеся того моменту, коли вони пристрасно захочуть свіжу ідею, і тоді навчіть їх якійсь техніці. Але трошки.

Відкладіть набік плани уроків і діапроектори, огидні барвисті підручники, компакт-диски і весь інший парад виродків бродячого цирку, і займіться з учнями математикою! Вчителі живопису не витрачають час на читання підручників та зазубрювання техніки — вони просто дають дітям малювати. Вони ходять від мольберта до мольберта і підказують, направляють:

— Я думала про завдання з трикутником, і дещо помітила. Дивіться, якщо трикутник похилий, то він не займає половини прямокутника!

— Чудове спостереження! Наше міркування з розтином трикутника було в припущенні, що вершина знаходиться над основою. Тепер нам потрібна нова ідея.

— Спробувати розсікти його якось інакше?

— Звичайно. Перепробуй всі ідеї. Дай мені знати, що у тебе вийде!

Як же нам вчити дітей математики? Вибираючи цікаві та природні завдання, відповідно до їх смаків, інтересів та досвіду. Даючи їм час робити відкриття і будувати гіпотези. Допомагаючи їм вибудовувати доведення і створюючи атмосферу здорового і живого математичного критицизму. Вловлюючи, куди змінюється їхній інтерес. Словом, вибудовуючи чесні і відкриті інтелектуальні відносини з учнями.

Звичайно, те, що я пропоную, неможливе з кількох причин. Навіть якщо не зважати на факт, що державні програми і стандартизовані тести практично виключають автономію вчителя. Я сумніваюся, що більшість вчителів узагалі хочуть мати настільки інтенсивні відносини з учнями. Це вимагає занадто великої відповідальності і занадто великої відкритості — словом, це занадто багато роботи!

Значно простіше бути пасивним передавачем готових шкільних “матеріалів” і йти за інструкцією, як на пляшці шампуню — “лекція, іспит, повторити” — аніж глибоко мислити про власний предмет і передавати цей сенс чесно і найкращим чином своїм учням. Нас просто умовляють відкласти складну задачу прийняття рішень своїм розумом і совістю, і замість цього “проходити програму”. Це просто шлях найменшого опору:

АВТОРИ ПІДРУЧНИКІВ : ВЧИТЕЛІ

а) фармацевтичні компанії : лікарі

б) компанії звукозапису : диск-жокеї

в) корпорації : депутати

г) все перераховане вище.

Біда математики, як і живопису, і поезії, полягає у важкій творчій роботі. Тому математику дуже складно викладати. Математика — повільний процес споглядання. Виготовити витвір мистецтва займає час, а щоб розпізнати його, потрібен майстерний учитель. Зрозуміло, легше вивісити список правил, ніж вести за собою майбутніх художників, як легше написати інструкцію до телевізора, ніж книгу з викладом своєї точки зору.

Математика — це мистецтво, а мистецтво має викладатися дійсними майстрами або принаймні педагогами, що люблять мистецтво і здатні його розпізнати. Не обов'язково вчитися музиці у професійного композитора, але чи віддасте ви дитину в навчання комусь, хто не вміє грати сам і не чув жодного музичного твору за все життя? Чи візьмете ви учителем малювання того, хто не тримав у руці олівця і ніколи не був у музеї? Як же тоді ми допускаємо в учителі математики того, хто не створив жодного математичного твору, не знає ні історії, ні філософії предмету, ні останніх досягнень математики, нічого, зрештою, з того, що він повинен викладати своїм нещасним учням? Що ж це за вчитель? Як вони можуть вчити те, чого самі не знають? Я не вмію танцювати, але мені і в голову не прийде вести танцювальні заняття (хоч я міг би й спробувати, але це виглядало б жахливо). Різниця в тому, що я знаю, що я не вмію танцювати. Мені ніхто не скаже, що я добре танцюю, навіть якщо я знаю купу танцювальних термінів.

Я не хочу сказати, що вчителі математики повинні бути професійними математиками — ні, я і не беруся за це. Але чи не повинні вони хоча б розуміти, що таке математика, знати її і любити?

Якщо навчання перетворюється на просту передачу інформації, якщо в ній немає спільного з учнем захоплення і дива, якщо вчителі є пасивними одержувачами інформації, а не творцями нових ідей — чи є тоді надія у наших школярів? Якщо додавання дробів для вчителя є випадковим набором правил, а не результатом творчості чи результатом естетично обґрунтованого вибору, тоді безсумнівно надії у бідних учнів і бути не може.

Викладання це не передача інформації. Викладання — це чесні інтелектуальні стосунки з учнями. Для цього не потрібні ні методи, ні допомоги, ні спеціальна підготовка. Для цього потрібно лише бути самим собою. Якщо ви не можете бути собою, то у вас немає ніякого права впливати на невинних дітей.

Зокрема, ви не можете вчити вчити. Педагогічні курси — повна нісенітниця. Так, ви можете пройти курси про ранній дитячий розвиток і ще щось, навчитися користуватися дошкою “ефективно”, готувати організований “план уроку” (що, до речі, забезпечує вашому уроку плановість, отже, фальш), але ви ніколи не станете вчителем, якщо не будете справжньою людиною. Викладання — це відкритість і чесність, бажання ділитися радістю знання, любов до навчання. Без цього всі педагогічні дипломи світу не допоможуть вам — вони геть даремні.

Це дуже просто. Учні — не інопланетяни. Вони розуміють прекрасне, вони бачать візерунок, вони від природи цікаві, як і всі ми. Просто розкажіть їм! І — ще важливіше — слухайте їх!

СІМПЛІЦІЙ. Гаразд, мені ясно, що в математиці є елемент мистецтва і що ми могли б краще це пояснювати. Але ж це, мабуть, занадто хитромудра штука, щоб чекати її від школи? Ми ж не філософів там вчимо, нам же треба, щоб вони арифметику знали тією мірою, щоб нормально вписатися в суспільство.

САЛЬВІАТІ. Це не так! Шкільна математика займається безліччю речей, не пов'язаних з можливістю вписатися в суспільство — наприклад, алгеброю і тригонометрією. Ці дисципліни геть непотрібні для щоденних справ. Я просто пропоную ось що: оскільки ми включаємо ці речі в план середньої освіти, то робити це слід органічно і природно. До того ж, як я вже говорив, з того, що з предмету можна отримати практичну користь, ще не виходить, що на цій користі навчання слід фокусувати. Звичайно, варто навчитися читати, щоб заповнити бланк на пошті, але ж ми не для цього дітей вчимо читанню. Ми вчимо їх читанню для вищої мети — дати їм доступ до прекрасних і визначних ідей. Вчити третьокласників писати, даючи їм заповнювати бланки податкових декларацій — це не тільки було б марно, але й не працювало б! Ми вчимося, тому що нам цікаво те, чому ми вчимося, тут і зараз, а не тому, що це буде корисно надалі. А з математикою ми саме так і робимо.

СІМПЛІЦІЙ. Але хіба третьокласники не повинні знати арифметики?

САЛЬВІАТІ. Навіщо? Ти хочеш навчити їх додавати 427 і 389? Це не з тих питань, що запитують восьмилітки. Та не всі дорослі повністю розуміють десяткову позиційну арифметику, а ти хочеш, щоб у третьокласників була повна ясність? Чи тобі все одно, зрозуміють вони це чи ні? Це занадто рано для такого механічного навчання. Звичайно, їх можна навчити, але, думаю, від цього шкоди буде більше, ніж користі. Краще дочекатися, поки у них не з'явиться природний інтерес до чисел.

СІМПЛІЦІЙ. То чим же повинні займатися діти на уроках математики?

САЛЬВІАТІ. Гратися! Навчіть їх грати в шахи і го, гекс і нарди, “розсаду” і нім, та чого завгодно — вигадайте гру! Відгадуйте загадки. Створюйте для них ситуації, де необхідне дедуктивне мислення. Не думайте про нотації і техніки, а допомагайте їхньому активному і творчому математичному мисленню.

СІМПЛІЦІЙ. Схоже, ми візьмемо цим на себе занадто великий ризик. Чи ж нам не вчити школярів арифметиці — вони ж не будуть вміти додавати і віднімати!

САЛЬВІАТІ. Вважаю, що ми значно більше ризикуємо створити школу, позбавлену творчого виразу, де функції учня будуть: запам'ятовувати дати, формули і списки слів, а потім випльовувати їх на стандартних іспитах, готуючись стати “будівельником світлого майбутнього”.

СІМПЛІЦІЙ. Але послухай, повинен же бути якийсь мінімум математичних фактів, які повинна знати будь-яка освічена людина!

САЛЬВІАТІ. Так, і найголовніший із цих фактів — те, що математикою люди займаються для власного задоволення! Згоден, непогано знати деякі основні факти про числа і геометричні фігури. Але це не прийде від зубріння, повторень, лекцій та вправ. Ти можеш, звичайно, завчити їх. Ми бачимо мільйони дорослих людей, які повторюють “мінус b плюс-мінус корінь з b в квадраті мінус 4ac, поділене на 2a”, і все це без найменшого поняття, що це означає. А причина в тому, що їм так і не дали можливості відкрити або винайти щось самим. Вони ніколи не розв'язували цікавих задач, не билися над ними, не шукали спосіб вирішення. Їм ніхто не розповів про історію стосунків людини і чисел — ні про вавилонські таблички із задачами, ні про папірус Рінда, ні про Liber abaci, ні про Ars magna. І — найголовніше — у них не було можливості задуматися, бо на всі їхні питання були дані відповіді ще до того, як вони їх могли задати.

СІМПЛІЦІЙ. Але у нас немає стільки часу, щоб кожен учень винайшов собі математику! У людства пішли століття на теорему Піфагора — як же ти хочеш, щоб звичайний школяр її сам відкрив?

САЛЬВІАТІ. Я цього не хочу. Дозволь мені прояснити: я шкодую, що в математичній програмі повністю відсутні мистецтво і відкриття, історія та філософія, контекст і перспектива. Я не хочу сказати, що нотація, техніка і накопичення знань не потрібні. Потрібні, звичайно. У нас має бути і одне, і інше. Якщо я проти того, що маятник надто далеко відхилився в одну сторону, це не означає, що я за те, щоб він відхилився до кінця в іншу. Люди насправді краще вчаться, коли результат виходить з процесу. Справжня любов до віршів приходить не від запам'ятовування сотень поем, а від написання власних віршів.

СІМПЛІЦІЙ. Так, але перш, ніж писати вірші, ти повинен вивчити абетку! Все повинно з чогось починатися. Спочатку вчаться ходити, потім — бігати.

САЛЬВІАТІ. Та ні ж, спочатку тобі потрібно знати, куди бігти. Діти вчаться писати вірші й оповідання і одночасно письму та читанню. Розповідь шестирічного — це чудово, і орфографічні та стилістичні помилки аніскільки не применшують цього дива. Навіть найменші діти складають пісеньки, хоч і не знають, в якому вони розмірі та в якій тональності.

СІМПЛІЦІЙ. Але хіба математика не відрізняється від музики? Хіба математика — не система символів, мова сама по собі, яку треба вивчити перш ніж говорити нею?

САЛЬВІАТІ. Ні, це зовсім не так. Математика — не мова, а пригода. Хіба музиканти “говорять іншою мовою”, скорочуючи свої ідеї до маленьких чорних нот? Якби й так — це все одно не заважає карапузові і його пісеньці. Так, певна система математичного запису утворилася за століття, але вона не є настільки важлива. Математика частенько робиться з друзями за кавою на серветках. Математика — це ідеї, а ідеї перевершують символи, якими вони записуються. Гаус одного разу зауважив: “Нам потрібні ідеї, а не ідіоми!”

СІМПЛІЦІЙ. Але хіба не можна сказати, що одна з цілей математичної освіти — навчити школярів думати логічно точно, виробити “навички математичного мислення”, як пишуть у програмі? Хіба формули і правила не відточують розум учнів?

САЛЬВІАТІ. Ні, не “відточують”. Якщо хочеш, система дає протилежний ефект: вона робить тупішим. Гострота розуму твориться вирішенням завдань, а не заучуванням того, як це слід робити.

СІМПЛІЦІЙ. Гаразд, згоден. А як бути з учнями, що йдуть в науку і в інженери? Хіба їм не потрібне навчання за стандартною програмою? Чи не для того ми викладаємо математику в школі?

САЛЬВІАТІ. Скільки учнів стане письменниками після уроків літератури? Ми вчимо літературі не для цього. Ми вчимо, щоб просвітлювати, а не давати профтехосвіту! Адже найважливіше вміння і вченого, і інженера — вміння мислити творчо і незалежно. А кому потрібна ця муштра?!

Математична програма

Стан викладання математики в школі сумний не тільки і не стільки через те, що важливе відсутнє — що на уроках математики не відбувається математики, — але через те, що там присутнє: мішанина деструктивної дезінформації, звана “програмою”. Подивімося, що протиставляють нашим учням в ім'я математики, і якої це завдає їм шкоди.

Найдивовижніше в цій програмі — це її негнучкість. Це особливо помітно в програмі старших класів. Від школи до школи, від міста до міста, від штату до штату повторюються одні й ті ж теми, про них розповідається однаково і в одному і тому ж порядку. Замість того, щоб обуритися цим оруелівським станом речей, більшість людей просто приймають цю “стандартну програму” за власне математику.

Це тісно пов'язано з тим, що я називаю “міфом про драбину” — ідеєю про те, що математику можна створити з послідовності “предметів”, кожен з яких “вищий”, що піднімається до “вищої математики”. Ця ідея породжує перегони: деякі учні попереду, чиїсь батьки переживають, що їхня дитина “відстає”. І де фінішна лінія цієї гонки, що чекає на ній? Сумно, але гонка ця в нікуди. В кінці — вас обдурять на рівно одну математичну освіту, та ще так, що ви цього не помітите.

Справжня математика не випускається в консервах — в математиці немає такої ідеї, як алгебра за 9-й клас. Завдання ведуть вас, куди ведуть. Мистецтво — не перегони. Міф про драбину — це спотворений образ предмета математики, а вчитель, що іде за стандартною програмою, лише закріплює цей міф, замість того, щоб показувати математику як щось цілісне. А в результаті у нас виходить математична програма без історичної перспективи і тематичної цілісності, фрагментарний набір різноманітних тем і засобів, вишикуваних у порядку легкості, з якою їх можна звести до поетапної інструкції.

Замість відкриття і дослідження в нас виходять правила та інструкції. Ми ніколи не чуємо, щоб учень говорив: “Мені захотілося дізнатися, чи є сенс у зведенні числа до негативного степеня, і я виявив, що вийде цілком осмислено, якщо уявити її у вигляді зворотного числа”. Замість цього, вчитель і підручники дають “правило негативного степеня” як доконаний факт без згадки про естетику цього вибору або хоча б того, що вибір був.

Замість осмислених завдань, які могли б привести через недосліджену територію обговорення та суперечки до синтезу різноманітних ідей, до почуття тематичної єдності та гармонії в математиці, ми маємо настільки безрадісні повторювані вправи на певну техніку, роз'єднані одна з одною і від'єднані від математики як цілого, що ні у вчителів, ні в учнів не виникає навіть тіні ідеї, як такі речі могли взагалі скластися.

Замість природного контексту завдання, де учні могли б самі вибрати слова для позначення сутностей, видається нескінченна низка невмотивованих апріорних “визначень”. Програма нав'язує жаргон і класифікацію лише заради можливості для вчителів перевіряти цей же жаргон на іспитах. Жоден математик в світі не стане протиставляти “змішаний дріб” 2½ “неправильному дробу” 5/2. Та вони ж рівні, заради всього святого! Це одне і те ж число, їх властивості однакові. Та хто хоча б пам'ятає ці слова після четвертого класу?

Значно легше, звичайно, перевіряти знання безцільних термінів, ніж надихати на створення прекрасного і пошук свого власного сенсу. Навіть якщо ми і погодимося, що базовий математичний словник необхідний, — це не він. Як сумно, що п'ятикласників вчать говорити “вісь абсцис” і “вісь ординат” замість “осей x і y”, але не дають їм приводу сказати такі слова, як “припущення” або “контрприклад”. Старшокласників вчать писати sec x, секанс, замість зворотної функції 1/cos x — “визначенню”, яке має таку ж інтелектуальну силу, як скорочення “і т. п.”. Це скорочення вийшло з навігаційних таблиць XV ст. і все ще залишається у вжитку (у той час як, наприклад, версінус вийшов з користування) в наш час, коли точні навігаційні обчислення більш не проблема, за чистою історичною випадковістю. Так уроки математики забиваються безглуздою термінологією в ім'я термінології.

На практиці, програма — не стільки послідовність тем чи ідей, скільки низка систем нотації. Математика ніби складається з секретного списку математичних символів і правил маніпуляції ними. Малюкам дають “+” і “÷”. Тільки згодом їм можна довірити √, а потім “x” і “y” і алхімію дужок. Потім їм забивають у голови “sin”, “log” і “‘f(x)”, а потім удостоюють “d” і “∫”. І все це відбувається, зрозуміло, без математично осмисленого досвіду.

Ця програма настільки непорушна, що вчителі та автори підручників можуть надійно, за багато років, передбачити, що учні будуть робити, з точністю до номера сторінки з вправами. Не викликає подиву, коли в 9 класі задають обчислення [f(x + h) − f(x)] / h для різних функцій f, так щоб вони “вже бачили” цей вислів, коли у них будуть початки аналізу три роки потому. Природно, не дається (та й не очікується) ніякої мотивації розуміння, що означає ця на перший погляд випадкова комбінація операторів. Вчителі, які намагаються пояснити, що це означає, і — впевнений! — які вважають, що роблять школярам послугу, насправді просто дають їм ще одну нудну вправу. “Що вони від мене хочуть? А, ще й це до решти? Угу”.

Ще один приклад — коли школярів навчають виражати інформацію в невиправдано складній і неприродній формі просто тому, що колись, у далекому майбутньому, це буде мати сенс. Чи замислюється хоч на секунду учитель 6-го класу, змушуючи учнів записати твердження “x знаходиться в інтервалі від 3 до 7” у вигляді |x – 5| < 2, навіщо він це робить? Автори безглуздих підручників серйозно вважають, що цим допомагають учням підготуватися до часу “Ч”, коли через багато років вони почнуть вивчати аналітичну геометрію чи абстрактні метричні простори? Сумніваюся. Думаю, що просто копіюючи один одного десятиліттями, змінюючи, щонайбільше, шрифт чи колір під виділеним текстом, вони сяють гордістю, що шкільна система прийняла їхній новий підручник, і так стають її мимовільними спільниками.

Математика — це розв'язування задач, і саме розв'язування задач повинно бути в центрі математичного життя школяра. Як би не було важко, які б не траплялися невдачі — учні та вчителі повинні бути разом на цьому шляху — знаходячи ідеї, не знаходячи ідей, відкриваючи закономірності, будуючи припущення, конструюючи приклади і контрприклади, наводячи аргументи і критикуючи роботу один одного. Певна техніка утворюється в процесі цієї роботи, як це відбувалося історично: не в ізоляції від розв'язуванні задач, а в органічному поєднанні з цим процесом.

Викладачі рідної мови знають, що орфографія і пунктуація найкраще вивчаються в процесі читання і письма. Вчителі історії знають, що імена і дати абсолютно нецікаві у відриві від картини історичних подій. Чому ж математичне навчання застрягло в XIX ст.? Порівняйте ваші спогади про урок алгебри із цим спогадом Бертрана Расела:

“Мене змушували вчити напам'ять: квадрат суми двох чисел дорівнює сумі їхніх квадратів, збільшений на подвоєний добуток цих виразів. У мене не було ані найменшого уявлення про те, що б це могло означати; коли я не міг запам'ятати цих слів, вчитель ляснув мене книгою по голові, що, однак, ніяк не стимулювало мій інтелект.”

Чи змінилося щось із тих пір?

СІМПЛІЦІЙ. Не думаю, що так буде чесно. Звичайно, методи навчання змінилися!

САЛЬВІАТІ. Ти маєш на увазі методи тренування. Вчення — непрості людські відносини; методу тут бути не може. Або, давай я так скажу: якщо тобі потрібен метод, значить, ти не дуже хороший учитель. Якщо у тебе немає достатньо "почуття" свого предмета, щоб говорити про нього своїми словами, природно і спонтанно, значить, ти і сам його не розумієш. І, говорячи про те, що вчителювання застрягло в дев'ятнадцятому столітті — тебе не лякає, що програма при цьому застрягла в сімнадцятому? Подумай про всі ті приголомшливі відкриття і глибокі перевороти в людській думці, що відбулися за останні три століття! Вони не згадуються, немов би їх і не було.

СІМПЛІЦІЙ. Може, ти просто занадто багато чого хочеш від вчителів математики? Щоб вони надавали індивідуальну увагу трьом десяткам учнів, ведучи їх по їхніх власних шляхах відкриттів і освіти, та ще щоб вони стежили за останніми математичними відкриттями?

САЛЬВІАТІ. А ти хочеш, щоб вчитель малювання міг дати тобі розумну пораду з приводу твоєї картини, щоб він знав історію останніх трьохсот років живопису? А серйозно — ні, я і не чекаю цього, просто мрію про те, щоб так було.

СІМПЛІЦІЙ. Значить, винні вчителі математики?

САЛЬВІАТІ. Ні, винна культура, яка їх виробляє. Вони намагаються як краще, але роблять так, як їх вчили. Упевнений, багато з них люблять учнів, і їм не подобається робити те, що їм доводиться. Вони відчувають, що таке викладання безглузде, і тільки шкодить. Вони відчувають, що стають шестернями в м'ясорубці духу. Однак, у них не вистачає перспективи, щоб усвідомити це, тим більше боротися з цим. Вони повинні "готувати учнів до переходу в наступний клас".

СІМПЛІЦІЙ. Ти й справді думаєш, що всі учні мають такий високий рівень, щоб створювати власну математику?

САЛЬВІАТІ. Якщо ми й справді думаємо, що творче мислення — це занадто "високий рівень" для наших учнів, навіщо тоді ми змушуємо їх писати роботи з історії та літератури? Проблема не в тому, що школярі не можуть того, що ти говориш, — проблема в тому, що вчителі цього не можуть! Вони ніколи не доводили нічого самі — як же вони можуть направити на правильний шлях учня? Як би там не було, очевидно, що різниця у здібностях школярів буде, але, принаймні, вони зможуть любити чи ненавидіти математику такою, яка вона є, а не цю підробку під неї!

СІМПЛІЦІЙ. Але ж ми точно хочемо, щоб учні володіли певним набором базових знань і вмінь. Ось для чого потрібна програма, і ось чому вона одноманітна: існує якийсь набір основних фактів, однаково необхідний всім і у всі часи. 1 + 1 = 2, сума кутів трикутника дорівнює 180°. Це не думки і не художні оцінки.

САЛЬВІАТІ. Навпаки. Математичні структури, і практично корисні, і ні, виникають в контексті завдань, і отримують сенс тільки з цього контексту. Іноді ми хочемо, щоб один плюс один дорівнював нулю (в арифметиці по модулю 2). Сума кутів трикутника на сфері більше 180°. Це не факти самі по собі — все тут відносно. Важлива повість, а не розв'язка сюжету.

СІМПЛІЦІЙ. Я вже втомився від твоєї містичної балаканини! Скажи мені, ось базова арифметика — ти згоден чи не згоден з моєю думкою, що учні повинні її знати?

САЛЬВІАТІ. Залежить, що ти називаєш "базовою арифметикою". Якщо ти називаєш нею розуміння завдань лічби і розділення, переваги групування і найменування, розрізнення уявлення і речі в світі, історію розвитку рахункових систем — так, я вважаю, що школярі повинні це вивчати. Якщо ж ти називаєш нею заучування арифметичних фактів поза базовою системою концепцій — ні. Дослідження зовсім не очевидного факту, що п'ять купок по сім це стільки ж, скільки сім купок по п'ять — так. Заучування правила, що 5 × 7 = 7 × 5 — ні. Заняття математикою — це завжди відкриття закономірностей і створення красивих та осмислених пояснень.

СІМПЛІЦІЙ. Гаразд, а геометрія? Школярі весь час доводять геометричні теореми. Хіба, по-твоєму, уроки геометрії в старших класах — не зразок того, якими мають бути уроки математики?

Геометрія в старших класах: інструмент диявола

Ніщо так не дратує автора їдкого викриття, як пропозиція головної жертви його отрути в якості аргументу на підтримку його думки. Ніде вовк в овечій шкурі не віроломний настільки, як на уроці геометрії. Така спроба школи дати введення в мистецтво раціонального міркування небезпечна сама по собі.

Цей вірус атакує математику в саме серце, створюючи ілюзію, ніби саме на уроці геометрії школярі знайомляться з математичним міркуванням, і тим самим руйнує саму суть творчого раціонального мислення, отруюючи учнів у прагненні до цього цікавого і красивого предмету, назавжди калічачи їх здатність мислити про математику природним і інтуїтивним шляхом.

Механізм, що стоїть за цим, делікатний і витончений. Жертва-учень спочатку оглушуєтся і паралізується потоком безглуздих визначень, положень та значків, а потім повільно і болісно відлучається від природного інтересу та інтуїції про геометричні форми і їх закономірності систематичною пропагандою зашкарублої мови і штучного формату так званого “формального геометричного доведення”.

Скажімо прямо і без метафор: урок геометрії є найбільш емоційно і ментально деструктивна компонента всієї математичної програми, від першого класу і до останнього. Інші математичні курси можуть сховати прекрасного птаха або посадити його в клітку; але лише на уроці геометрії його бездушно мордують. (Ні, мабуть, я ще не готовий говорити без метафор.)

Тут систематично підривається інтуїція учня. Доведення, математичне міркування є твором мистецтва, поемою. Його мета — задовольнити. Красиве доведення покликане пояснювати, і пояснювати ясно, глибоко і елегантно. Добре написане, пропрацьоване міркування має відчуватися холодними бризками і вести променем маяка — освіжати дух і висвітлювати розум. Воно повинно зачаровувати.

У тому, що вважається доведенням на уроці геометрії, немає нічого чарівного. Школярам дають негнучкий, догматичний формат, в якому вони повинні виробляти так звані "доведення" - формат настільки непотрібний і недоречний, як, наприклад, вимога від дітей, що хочуть засадити сад квітами, називати їхні квіти латинськими видом і родом.

Розгляньмо приклади цього безумства. Почнімо з малюнка двох перехресних прямих:

На першому кроці малюнок слід замутити зайвими позначеннями. Не можна говорити про дві перехресні прямі: їм слід дати химерні позначення. Не просто "пряма 1" і "пряма 2", або a і b. Ми повинні, відповідно до вимог шкільної геометрії, вибрати довільні непотрібні точки на цих прямих і називати ці прямі відповідно до спеціальної "системи позначення прямих".

Тепер ми будемо називати їх AB і CD. Боже збав забути надкреслення: запис AB позначав би довжину відрізка (у всякому разі, як це робиться зараз). Нічого, що ця система безглуздо ускладнена, просто навчіться нею користуватися. Тепер починається власне доведення, яке звичайно випереджає якась абсурдна назва, наприклад,

ТЕОРЕМА 2.1.1

Нехай AB і CD перетинаються в точці P.

Тоді ∠APC ≅ ∠BPD

Тобто — що кути однакові. Та ж пересічні прямі симетричні, заради всього святого! І, наче цього мало, це очевидно правильне твердження має бути "доведено":

Доведення.

Твердження	Пояснення
1. m∠APC + m∠APO = 180	1. Постулат про складання кутів m∠BPD + m∠APD = 180
2. m∠APC + m∠APD = m∠BPD + m∠APD	2. Властивість підстановки
3. m∠APD = m∠APD	3. Рефлексивна властивість рівняння
4. m∠APC = m∠BPD	4. Адитивна властивість рівняння
5. ∠APC ≅ ∠APC	5. Постулат про вимірювання кутів

Замість дотепного і цікавого міркування, написаного людською істотою на одній із природних мов Землі, нам пропонується це гнітюче, бездушне, бюрократичне заповнення бланка. І якого слона вдалося роздмухати з мухи! Ми що, насправді хочемо показати, що самоочевидне спостереження вимагає такого величезного введення? Чесно: ви його прочитали чи ні? Ні. Хто стане це читати?

Такий висновок настільки елементарного твердження змушує людей сумніватися у власній інтуїції. Піддаючи сумніву очевидне, наполягаючи на тому, щоб воно було "строго доведено" (наче наведене вище доведення строге!), Учневі наче говорять: "Твоя інтуїція і твої ідеї сумнівні. Ти повинен говорити і думати по-нашому ".

В математиці, без сумніву, є місце формальному доведенню. Але місце йому не в першому введенні учня в предмет математичного міркування. Дозвольте йому спершу ознайомитися з деякими математичними об'єктами, зрозуміти, чого від них можна очікувати, перед тим, як ви почнете все формалізувати. Строге формальне доведення необхідне тільки в кризовій ситуації, коли ваші уявні об'єкти починають вести себе протиінтуїтивним чином, коли виникає парадокс. Але зайва профілактична гігієна тут зайва — ніхто ще не захворів! Зрозуміло, якщо логічна криза рано чи пізно відбувається, її слід дослідити, а аргументи прояснити, але і цей процес може бути проведений інтуїтивно і неформально. Дух математики якраз і полягає в цьому діалозі зі своїм власним доведенням.

Діти не тільки заплутуються цим педантизмом — адже немає нічого більш незрозумілого, ніж доведення очевидного — але навіть ті, чия інтуїція ще поки ціла, змушені переводити їхні відмінні, прекрасні ідеї на цю мову абсурдних ієрогліфів, яку вчитель називає "правильною". Та ж учитель лестить собі, вважаючи, що це якимось невідомим чином "відточує розум" учня.

Як більш серйозний приклад, розгляньмо випадок трикутника в півколі.

Чудова закономірність в цьому геометричному візерунку полягає в тому, що, куди б ви не помістили вершину трикутника, кут при цій вершині завжди буде прямим.

В цьому випадку наша інтуїція сумнівається. Зовсім навіть і не ясно, що це твердження завжди істинне, навіть і не схоже на те — хіба не повинен кут змінюватися, коли ми рухаємо вершину трикутника по колу? Це чудове завдання! Чи завжди кут прямий? Якщо так, чому? Яка чудова самостійна робота! Яка чудова можливість проявити кмітливість і уяву! Зрозуміло, таку можливість учням не дають, і їхній інтерес негайно збивається таким:

ТЕОРЕМА 9.5.

Нехай ΔABC вписаний в півколо діаметром AC.

Тоді кут ∠ABC прямий.

Доведення.

Твердження	Пояснення
1. Проведімо радіус OB. Тоді OB = OC = OA.	1. Дано.
2. m∠OBC = m∠BCA	2. Т. про рівнобедренний трикутник m∠OBA = m∠BAC
3. m∠ABC = m∠OBA + m∠OBC	3. Постулат про суму кутів.
4. m∠ABC + m∠BCA + m∠BAC = 180	4. Т. про суму кутів трикутника.
5. m∠ABC + m∠OBC + m∠OBA = 180	5. Підстановка (2).
6. 2 m∠ABC = 180	6. Підстановка (3).
7. m∠ABC = 90	7. Мультиплікативна властивість рівняння.
8. Кут ∠ABC — прямий	8. Визначення прямого кута.

Чи є щось більш непривабливе і неелегантне? Чи можна було зробити доведення більш заплутаним і нечитабельним? Це не математика! Доведення має бути посланням богів, а не телеграмою Алекса Юстасу! Ось до чого доводить невгамовне почуття строгості: до потворності. Дух доведення похований під купою плутаного формалізму.

Математики так не працюють. Жоден математик ніколи так не працював. Це повне і остаточне нерозуміння підприємства математики. Математика не займається зведенням бар'єрів між нами і нашою інтуїцією, щоб зробити просте складним. Математика прибирає перешкоди нашій інтуїції, і зберігає просте простим.

Порівняйте цю мішанину з наступним міркуванням одного мого семикласника:

“Візьмімо трикутник і перевернімо його всередині кола так, що вийде чотирикутник, вписаний в коло. Оскільки ми перевернули трикутник, протилежні сторони чотирикутника рівні, тобто це паралелограм. Але він не може бути похилим, тому що його обидві діагоналі — діаметри кола, і тому рівні. Значить, це прямокутник, і всі його кути прямі. Ось чому кут трикутника завжди прямий.”

Хіба не чудово? Моя мета не порівняти, яке з двох міркувань краще як ідея, а показати, наскільки ідея видна тільки в другому. (Насправді, ідея першого доведення теж хороша, але вона ледь проступає через цей запис, немов через закопчене скло.)

Ще важливіше те, що це власна ідея учня. У класу було чудове завдання, над яким діти працювали, розробляли свої припущення, намагалися вивести доведення, і це те, що врешті навів один з учнів. Зрозуміло, це зайняло кілька днів, і вийшло тільки в результаті довгої низки невдач.

Чесно кажучи, я неабияк перефразував доведення. Оригінал був значно заплутанішим і містив безліч непотрібних слів (а також граматичних і орфографічних помилок). Проте, я зрозумів його. І всі ці дефекти були тільки на краще — мені, як вчителю, вони теж дали зрозуміти дещо важливе. Я вказав на кілька стилістичних і логічних неточностей, і учень зміг виправити їх. Наприклад, я був незадоволений твердженням про те, що обидві діагоналі — діаметри, мені не здавалося це цілком очевидним — але це лише означало, що ми повинні були отримати щось з розуміння ситуації. Учень прекрасно впорався і з цією проблемою:

“Оскільки трикутник повернутий рівно на половину обороту, вершина повинна знаходитися напроти того місця, звідки ми почали його повертати. Ось чому обидві діагоналі чотирикутника — діаметри.”

Ось така чудова робота і прекрасна математика — навіть не знаю, хто був більш гордий результатом: учень чи я. Ось приклад саме того досвіду, якому б я хотів навчити всіх своїх учнів.

Проблема зі стандартною програмою геометрії в тому, що досвід художника, що сам мучиться, у ньому відсутній. Мистецтво доведення замінено бланком встановленої форми для покрокового висновку. Підручник наводить набір визначень, теорем, доведень, вчитель переносить їх на дошку, учні переписують їх у зошити. Дітей вчать повторювати ці доведення в їхніх вправах. Ті, хто навчаються цьому повторенню швидко, називаються “хорошими учнями”.

В результаті учень стає пасивним учасником творчого акту. Учні роблять твердження, щоб заповнити графи в цьому бланку доведення, не тому, що вони хочуть саме це висловити. Вони не будують аргументів — вони мавпують, копіюючи аргументи. Таким чином, вони не тільки не розуміють, що говорить вчитель — вони не розуміють, що говорять самі.

Навіть традиційний спосіб, яким подаються доведення — брехня. Перед кидком в каскад пропозицій і теорем вводяться визначення, щоб зробити доведення максимально короткими, наче створюючи ілюзію ясності. На поверхневий погляд затія виглядає безневинною: чому б і не ввести список скорочень, щоб говорити далі економічніше? Проблема криється в тому, що визначення важливі. Вони повинні виходити естетично обгрунтовано з того, що ви, автор витвору мистецтва, вважаєте важливим. І вони повинні бути викликані завданням. Визначення повинні привертати увагу до властивостей об'єктів і структури завдання. Історично це відбувалося як результат роботи над завданням, а не як прелюдія до неї.

Ви не починаєте роботи з визначень — ви починаєте її з завдання. Нікому в голову не приходила ідея, що число може бути "ірраціональним", до тих пір, поки Піфагор не спробувала вирахувати діагональ квадрата і не прийшов до висновку, що її неможливо представити дробом. Визначення мають сенс, коли ви досягаєте в роботі тієї точки, де потрібне осмислене розрізнення сутності. Невмотивовані визначення, навпаки, швидше викличуть плутанину.

Це ще один приклад того, як від учнів приховують математичний процес, і виключають їх з нього. Учні повинні вміти вводити свої власні визначення в разі потреби — щоб самим обмежити обговорюване. Я не хочу, щоб учні говорили “визначення”, “теорема”, “доведення” — а тільки “моє визначення”, “моя теорема”, “моє доведення”.

Ще одна серйозна проблема з такою подачею матеріалу в тому, що вона нудна. Ефективність і економія протистоять хорошому викладанню. Сумніваюся, що Евкліду така система сподобалася б, і точно знаю, що її не схвалив би Архімед.

СІМПЛІЦІЙ. Почекай-но хвилинку. Не знаю, як тобі, а ось мені подобалися уроки геометрії. Мені подобалася структура, подобалося доведення у строгій формі.

САЛЬВІАТІ. Не сумніваюся, що так і було. Упевнений, що ти іноді навіть розв'язував цікаві задачі. Багатьом подобаються уроки геометрії (хоча значно більше їх не терплять). Але це не аргумент на захист цього режиму. Швидше, це яскраве свідчення привабливості самої математики. Складно розламати щось таке прекрасне: навіть слабка тінь її буде і манити, і винагороджувати. Багатьом подобається і розмальовки розфарбовувати, адже це різнобарвне рукоділля, що розслаблює. Але вони від цього живописом не стають.

СІМПЛІЦІЙ. Але кажу ж тобі: мені подобалася геометрія.

САЛЬВІАТІ. І якби у тебе трапився більш природний математичний досвід, тобі б він сподобався ще більше.

СІМПЛІЦІЙ. Значить, нам просто потрібно організувати вільну від планів математичну подорож, і учні навчаться тому, чого вже вони навчаться?

САЛЬВІАТІ. Саме так. Завдання ведуть до інших місій, техніка виробляється в міру потреби, а нові теми виникають природним чином. І якщо якесь питання так і не виникне за тринадцять років навчання, наскільки ж воно тоді цікаве?

СІМПЛІЦІЙ. Ти зовсім з глузду з'їхав.

САЛЬВІАТІ. Можливо. Але навіть працюючи в звичайних рамках, хороший вчитель може направляти обговорення і переходити від завдання до завдання так, щоб учні могли відкривати і винаходити для себе математику. Біда в тому, що бюрократія не дозволяє окремому вчителю це робити. При жорсткому наборі програм учитель не може вести за собою. Не повинно бути стандартів, і не повинно бути програм —тільки особистості, що роблять на власний розсуд найкраще можливе для учнів.

СІМПЛІЦІЙ. Але як тоді школи можуть гарантувати однакові базові знання учнів? Як ми зможемо точно і об'єктивно порівняти їх?

САЛЬВІАТІ. Ніяк, і ми не будемо їх порівнювати — все буде так, як буває насправді. Рано чи пізно ти опиняєшся перед тим фактом, що люди всі різні — і це добре. Як би там не було, але ніякого тиску насправді немає. Припустімо, учень закінчує середню школу, не пам'ятаючи формул синуса і косинуса подвійного кута (наче випускники їх зараз пам'ятають). Ну і що? Принаймні, у випускника буде правильне уявлення про справжній предмет математики, принаймні він побачить щось прекрасне!

Висновок...

Завершуючи цю критику стандартної шкільної програми, я хотів би представити на допомогу суспільству першу до кінця чесну шкільну програму з математики для всіх класів.

Стандартний навчальний план з математики

ПОЧАТКОВА ШКОЛА. Початкове запарювання мізків. Учні осягнуть, що математика — це не те, що ти робиш, а те, що роблять за тебе. Увага приділяється дисципліні на заняттях, акуратного заповнення прописів і ретельному виконанню інструкцій. Діти вивчать складну систему алгоритмів для маніпуляції символами незрозумілого алфавіту, яка не має відношення до того, що їм цікаво, яка кілька століть назад вважалася надто складною для середнього дорослого. Особливі зусилля прикладаються для заучування таблиці множення, а також до батьків, учителів і самих учнів.

СЕРЕДНЯ ШКОЛА. Учні навчаться погляду на математику як сукупність шаманських ритуалів, вічних і незмінних. Учням будуть видані Священні Таблички підручників, і вони навчаються говорити про найстаріших шаманів у третій особі (наприклад, "Чого вони від мене хочуть? Вони хочуть, щоб я поділив?"). Штучні, вимучені "текстові завдання" будуть введені, щоб, у порівнянні з ними, божевільне зубріння арифметики здалося приємним та інтелектуальним. Учні складають іспити на знання безглуздих технічних термінів, таких, як "ціле число", "правильний дріб", що вводяться без найменших на те причин. Цей курс повністю підготує учня до курсу алгебри-1.

АЛГЕБРА-1. Щоб уникнути витрат часу на роздуми над числами і закономірностями, курс побудований навколо символів і правил маніпуляції ними. Плавне і поступове введення в предмет, починаючи з завдань месопотамских табличок і закінчуючи високим мистецтвом алгебри епохи Відродження, замінюється фрагментарним постмодерністським переказом без дійових осіб, сюжету і лінії оповіді. Вимога записувати всі числа і вирази в стандартній формі створить додаткові труднощі в розумінні сенсу тотожності і рівності. Учні з незрозумілої причини також завчать напам'ять формулу для розв'язання квадратного рівняння.

ГЕОМЕТРІЯ. Не пов'язаний з рештою програми, цей курс дасть учням надію на осмислені математичні дії, а потім не виправдає цю надію. В курсі дається незграбна і незрозуміла система запису. Учні будуть напружено працювати над заплутуванням простого в складне. Метою курсу є знищення залишків природної математичної цікавості для підготовки до курсу алгебри-2.

АЛГЕБРА-2. Предметом курсу є невмотивоване і недоречне застосування аналітичної геометрії. Конічні перетини вводяться в системі координат, що надійно приховує їхню простоту і естетику. Учні навчаться переписувати квадратичні форми в різні стандартні формати без будь-якої мети. В курсі також вводяться експоненціальні і логарифмічні функції, незважаючи на те, що вони не є алгебраїчними об'єктами, просто тому, що їх більше не було куди увіткнути. Назву курсу вибрано з метою закріпити міфологію про сходи. Чому між алгеброю-1 і алгеброю-2 включається геометрія, в курсі залишається таємницею.

ТРИГОНОМЕТРІЯ. Два тижні змісту курсу розтягнуті на півріччя самоцінною грою в визначення. Цікаві і красиві явища, наприклад, як сторони трикутника залежать від його кутів, будуть дані з акцентом на непотрібні скорочення і застарілі позначення, щоб не допустити виникнення в учнів ясної ідеї про предмет. Учні вивчать також непотрібні мнемоніки, які замінять природні і інтуїтивні поняття про симетрію. Вимірювання трикутників пояснюється без згадки трансцендентності тригонометричних функцій, а також лінгвістичних і філософських проблем, що виникають при подібних вимірах. Калькулятори обов'язкові, щоб заплутати цю тему ще більше.

ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ. Курс є вінегретом з незв'язаних між собою тем. Проводиться безуспішна спроба дати учням поняття про методи мат. аналізу другої половини XIX ст. на абсолютно невідповідних прикладах. Вводяться технічні визначення меж і безперервності, які замінять собою інтуїтивно ясне поняття плавної зміни. Як показує назва курсу, він призначений для підготовки учнів до повного курсу мат. аналізу, в якому буде завершено систематичне затуманення ідей форми і руху.

МАТ. АНАЛІЗ. Курс призначений для вивчення математики руху і найкращого способу поховати її під горою формалізму. Незважаючи на те, що курс є введенням в диференціальне й інтегральне вирахування, прості і глибокі ідеї Лейбніца і Ньютона будуть замінені більш складним функціональним підходом, розробленим у відповідь на деякі аналітичні кризи, які не належать до даного рівня викладу і, зрозуміло, не будуть згадані . Цей курс буде також слово в слово повторений в коледжі.

* * *

Отже, перед вами рецепт для невиліковного ураження юних мізків, надійні ліки від допитливості. Що ж вони зробили з математикою!

В математиці, древній формі мистецтва, є і глибина, що захоплює дух, і краса, від якої щемить серце — а вийшло так, що люди протиставляють математику творчості. Вони проходять повз форму мистецтва, яка древніша за книгу, глибша за поему і абстрактніша за будь-яку абстракцію. І веде їх саме школа! О скорботне замкнуте коло невинних вчителів, які несуть біду безневинним учням! Але ж нам могло б бути весело і цікаво.

СІМПЛІЦІЙ. Ти засмутив мене неабияк. І що ж далі?

САЛЬВІАТІ. Здається, у мене є одна цікава ідея щодо піраміди в кубі ...

Пол Локхард, 2002

Переклад зроблено з російської (вибачте!) із загляданням в оригінал. В російському перекладі автор fregimus подає чимало роз'яснень до тексту. Зокрема і про самого Пола Локхарда.
Джерела: англійською, російською.